Question

10．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+1（k≠0）與雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0）相交于P（1，m）．
（1）求k的值；
（2）若點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y=x成軸對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（（2，1））；
（3）若過P、Q兩點(diǎn)的拋物線與y軸的交點(diǎn)為N（0，$\frac{5}{3}$），求該拋物線的解析式，并求出拋物線的對(duì)稱軸方程．

Answer 1

分析 （1）直接將P點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式得出m的值，進(jìn)而把P點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式得出答案；
（2）利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出△APO≌△BQO（AAS），即可得出Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）把P（1，m）代入y=$\frac{2}{x}$，得m=2，
∴P（1，2）
把（1，2）代入y=kx+1，得k=1；

（2）如圖所示：過點(diǎn)P作PA⊥y軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)Q作QB⊥x軸于點(diǎn)B，
∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y=x成軸對(duì)稱，OP=OQ，
∴∠POD=∠DOQ，∠AOD=∠BOD=45°，
∴∠AOP=∠BOQ，
在△APO和△BQO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAO=∠QBO}\\{∠AOP=∠BOQ}\\{PO=QO}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△BQO（AAS），
∴AO=OB=2，AP=QB=1，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，1）．
故答案為：（2，1）；

（3）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=2}\\{4a+2b+c=1}\\{c=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=1}\\{c=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
故拋物線解析式為：y=-$\frac{2}{3}$x²+x+$\frac{5}{3}$，
則對(duì)稱軸方程為x=-$\frac{1}{-\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)以及二次函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確利用y=x的特殊性求出△APO≌△BQO是解題關(guān)鍵．