Question

13．已知直線y₁=x+m與x軸、y軸分別交于點A、B，與雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$（x＜0）分別交于點C、D，且C點的坐標為（-1，2）．
（1）分別求出直線AB及雙曲線的解析式；
（2）求出點D的坐標；
（3）在坐標軸上找一點M，使得以M、C、D為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出M點坐標．

Answer 1

分析 （1）把C（-1，2）分別代入y₁=x+m，y₂=$\frac{k}{x}$（x＜0）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）解由兩個函數(shù)的解析式組成的方程組，得交點坐標D．
（3）根據(jù)直線的解析式求出點A、B的坐標，再求出CD的長度，然后分①當∠CDM=90°時，②當∠DCM=90°時兩種情況討論求解．

解答 解：（1）把C（-1，2）代入y₁=x+m得：-1+m=2，
解得 m=3，
則y₁=x+3，
把C（-1，2）代入y₂=$\frac{k}{x}$（x＜0）得：2=$\frac{k}{-1}$，
解得：k=-2，
則y=-$\frac{2}{x}$；
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
則D點坐標為（-2，1）；
（3）當y=0時，x+3=0，
解得x=-3，
當x=0時，y₁=0+3=3，
∴點A、B的坐標分別是A（-3，0）、B（0，3），
∵C（-1，2），D（-2，1）；
∴AB=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（-1+2）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{（-3+2）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AC=AD+CD=2$\sqrt{2}$，
①當∠CDM=90°時，
∵∠ADM=∠AOB=90°，∠DAM=∠OAB，
∴△ADM∽△AOB，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AD}{OA}$，即$\frac{AM}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴AM=2，
∴OM=3-2=1，
∴M（-1，0）；
②當∠DCM=90°時，
同理證得：△ACM∽△AOB，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AC}{OA}$，即$\frac{AM}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
∴AM=4，
∴OM=AM-OA=1，
∴M（1，0）；
綜上所述，點M的坐標是（-1，0）或（1，0）．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題及用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意求出A、B、C、D點的坐標是解答此題的關鍵．