Question

5．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC、AB、AC上，BD=DC，BE=AF，EF交AD于點(diǎn)G．請(qǐng)?jiān)趫D中找一下，與△BDE相似的三角形有哪些？

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及BE=AF，即可證出：△ABD≌△ACD（SSS）、△BED≌△AFD（SAS）、△ADE≌△CDF（SAS）；由△BED≌△AFD利用全等三角形的性質(zhì)即可得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，通過角的計(jì)算得出∠EFD=90°，從而得出△DEF為等腰直角三角形，即△DEF∽△BAC，再根據(jù)∠DFG=∠DEG=∠EAG=45°結(jié)合相等的對(duì)頂角即可證出△DGF∽△EDA以及△DGE∽△FGA，同理可得出△BDE∽△FDG、△ADF∽△FDG，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴BD=CD=AD，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°．
在△ABD和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
在△BED和△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=AF}&{\;}\\{∠B=∠DAF=45°}&{\;}\\{BD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△AFD（SAS）．
∵AB=AC，BE=AF，
∴AE=CF．
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠DAE=∠DCF=45°}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS）．
故全等的三角形有：△ABD≌△ACD，△BED≌△AFD，△ADE≌△CDF．
∵△BED≌△AFD，
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠EFD=∠ADB-∠BDE+∠ADF=∠ADB=90°，
∴△DEF為等腰直角三角形，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△BAC為等腰直角三角形，
∴△DEF∽△BAC．
∵∠DFE=45°，∠EAG=45°，∠DEF=45°，
∴∠DFG=∠EAG，∠DEF=∠EAG，
又∵∠DGF=∠EGA，∠DGE=∠FGA，
∴△DGF∽△EDA，△DGE∽△FGA．
∵∠BDE=∠FDG，∠B=∠DFG=45°，
∴△BDE∽△FDG．
∵△BED≌△AFD，
∴△ADF∽△FDG．
∵全等三角形一定相似，
∴相似的三角形有：△ABD∽△ACD，△BED∽△AFD，△ADE∽△CDF，△DEF∽△BAC，△DGF∽△EDA，△DGE∽△FGA，△BDE∽△FDG，△ADF∽△FDG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形以及相似三角形的判定定理．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，熟練掌握全等（或相似）三角形的判定定理是關(guān)鍵．