Question

17．在平面直角坐標系中，我們不妨把縱坐標的值與橫坐標的值的平方相等的點稱為“好點”，例如點（-1，1），（0，0），（$\sqrt{2}$，2），…都是“好點”，顯然，這樣的“好點”有無數個．
（1）求一次函數y=x+1上的所有“好點”的坐標；
（2）若過點（1，-1）的直線上恰好有一個“好點”，請求出符合要求的直線解析式；
（3）若二次函數y=ax²-6ax+9a-1（a是常數，a＞0）的圖象上存在兩個不同的“好點”且至少有一個“好點”的橫坐標的值大于2，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）一次函數y=x+1上“好點”的坐標為（a，a²），代入解析式列方程即可．
（2）設過點（1，-1）的直線解析式為y=kx+b，則-1=k+b，所以b=-k-1，所以直線解析式為y=kx-k-1，設“好點”的坐標為（a，a²），則有a²=ka-k-1，根據△=0，列方程即可．
（3）設二次函數y=ax²-6ax+9a-1（a是常數，a＞0）的“好點”坐標為（m，m²），則有m²=am²-6am+9a-1，所以（a-1）m²-6am+9a-1=0，列出不等式組即可解決問題．

解答 解：（1）一次函數y=x+1上“好點”的坐標為（a，a²），
則a²=a+1，
∴a²-a-1=0，
∴a=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∴“好點”的坐標為（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）．

（2）設過點（1，-1）的直線解析式為y=kx+b，
∴-1=k+b，
∴b=-k-1，
∴直線解析式為y=kx-k-1，
設“好點”的坐標為（a，a²）
則有a²=ka-k-1，
∴a²-ka+k+1=0，
由題意△=0，
∴k²-4k-4=0，
∴k=$\frac{4±4\sqrt{2}}{2}$=2$±2\sqrt{2}$，
∴符合要求的直線解析式y(tǒng)=（2+2$\sqrt{2}$）x-3-2$\sqrt{2}$=0或y=（2-2$\sqrt{2}$）x-3+2$\sqrt{2}$．

（3）設二次函數y=ax²-6ax+9a-1（a是常數，a＞0）的“好點”坐標為（m，m²），
則有m²=am²-6am+9a-1，
∴（a-1）m²-6am+9a-1=0，
由題意$\left\{\begin{array}{l}{（-6a）^{2}-4（a-1）（9a-1）＞0}\\{a-1＞0}\\{4（a-1）-12a+9a-1＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（6a）^{2}-4（a-1）（9a-1）＞0}\\{a-1＜0}\\{4（a-1）-12a+9a-1＞0}\end{array}\right.$
解得1＜a＜5．

點評 本題是二次函數綜合題，主要考查了不等式組等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用方程的思想思考問題，學會利用不等式組解決問題，屬于中考壓軸題．