Question

7．已知拋物線y=2（k+1）x²+4kx+2k-3，求：
（1）k為何值時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）k為何值時(shí)，拋物線與x軸有唯一交點(diǎn)；
（3）k為何值時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)判別式△=b²-4ac＞0時(shí)，且2（k+1）≠0時(shí)，拋物線y=2（k+1）x²+4kx+2k-3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，解不等式組即可求出k的取值范圍；
（2）當(dāng)判別式△=b²-4ac=0時(shí)，且2（k+1）≠0時(shí)，拋物線y=2（k+1）x²+4kx+2k-3與x軸有唯一交點(diǎn)，解方程與不等式即可求出k的取值范圍；
（3）當(dāng)判別式△=b²-4ac＜0時(shí)，且2（k+1）≠0時(shí)，拋物線y=2（k+1）x²+4kx+2k-3與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，解不等式組即可求出k的取值范圍．

解答 解：（1）∵拋物線y=2（k+1）x²+4kx+2k-3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△＞0，且2（k+1）≠0，
∴（4k）²-4×2（k+1）（2k-3）＞0且k≠-1，
整理得，k+3＞0，
解得，k＞-3且k≠-1．
故k＞-3且k≠-1時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）∵拋物線與x軸有唯一交點(diǎn)，
∴△=0，且2（k+1）≠0，
∴（4k）²-4×2（k+1）（2k-3）=0且k≠-1，
整理得，k+3=0，
解得，k=-3．
故k=-3時(shí)，拋物線與x軸有唯一交點(diǎn)；

（3）∵拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)，
∴△＜0，且2（k+1）≠0，
∴（4k）²-4×2（k+1）（2k-3）＜0，且k≠-1，
整理得，k+3＜0，
解得，k＜-3．
故k＜-3時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系：△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．