Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2）．
（1）求d的值；
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移a個(gè)單位后，在第一象限內(nèi)B、C兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B′、C′正好落在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上．請求出a，k的值和直線B′C′的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線B′C′交y軸于點(diǎn)G，問是否存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P，使得以P，G，M，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作CN⊥x軸于點(diǎn)N，先根據(jù)HL定理得出Rt△CNA≌Rt△AOB，再由全等三角形的性質(zhì)即可得出d的值；
（2）設(shè)反比例函數(shù)為y=$\frac{k}{x}$，點(diǎn)C′和B′在該比例函數(shù)圖象上，設(shè)C′（E，2），則B′（E+3，1）把點(diǎn)C′和B′的坐標(biāo)分別代入y=$\frac{k}{x}$可得出E的值，進(jìn)而得出反比例函數(shù)的解析式，再用待定系數(shù)法求出直線C′B′的解析式即可；
（3）可以分成CG是平行四邊形的一邊和對角線兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）作CN⊥x軸于點(diǎn)N．
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{NC=OA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴Rt△CNA≌Rt△AOB．
∴AN=BO=1，NO=NA+AO=3，且點(diǎn)C在第二象限，
∴d=-3；
（2）設(shè)反比例函數(shù)為y=$\frac{k}{x}$，點(diǎn)C′和B′在該比例函數(shù)圖象上，設(shè)C′（m，2），則B′（m+3，1）
把點(diǎn)C′和B′的坐標(biāo)分別代入y=$\frac{k}{x}$，得k=2m；k=m+3，
∴2m=m+3，m=3，則k=6，反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{6}{x}$．
點(diǎn)C′（3，2）；B′（6，1）．
設(shè)直線C′B′的解析式為y=ax+b，把C′、B′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=2}\\{6a+b=1}\end{array}\right.$
∴解之得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$；
∴直線C′B′的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+3；
（3）在y=-$\frac{1}{3}$x+3中令x=0，解得y=3．則G的坐標(biāo)是（0，3）．
C的坐標(biāo)是（-3，2）．
當(dāng)CG是平行四邊形的對角線時(shí)，CG的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
設(shè)M的坐標(biāo)是（m，0），則P的坐標(biāo)是（-3-m，5）．
把（-3-m，5）代入y=$\frac{6}{x}$得5（-3-m）=6，
解得：m=$\frac{21}{5}$，則M的坐標(biāo)是（-$\frac{21}{5}$，0）；
當(dāng)CG是平行四邊形的一邊時(shí)，C平移到G是向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度．
設(shè)M的坐標(biāo)是（m，0），
則GCMP是平行四邊形時(shí)，P的坐標(biāo)是（m+3，1），
代入y=$\frac{6}{x}$得m+3=6，解得：m=3，即M的坐標(biāo)是（3，0）；
當(dāng)是平行四邊形GCPM時(shí)，P的坐標(biāo)是（m-3，-1），代入y=$\frac{6}{x}$得-（m-3）=6，
解得：m=-3，則M的坐標(biāo)是（-3，0）．
總之，M的坐標(biāo)是（-$\frac{21}{5}$，0）或（3，0）或（-3，0）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及平行四邊形的判定方法的綜合應(yīng)用，正確對平行四邊形進(jìn)行討論是關(guān)鍵．