Question

3．如圖，?ABCD中，A（-2，0）、B（0，4），AD在x軸上，且OD=2OA．
（1）求頂點C、D的坐標及CD的長；
（2）求直線AC的解析式；
（3）x軸下方的y軸上是否存在點P，使得直線CP把?ABCD的面積分成1：6兩部分？若存在，求出P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥OD于E，則四邊形OBCE是矩形，∠CED=90°，得出CE=OB=4，根據(jù)勾股定理求出AB，由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件求出BC=AD=6，CD=AB=2$\sqrt{5}$，OD=4，即可得出C、D坐標；
（2）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，把A、C坐標代入得出方程組，解方程組求出k、b即可；
（3）設(shè)CP交AD于H，先求出?ABCD的面積，由面積關(guān)系求出DH，得出OH和H坐標，用待定系數(shù)法求出直線CP的解析式為：y=$\frac{14}{13}$x-$\frac{32}{13}$，再求出直線CP與y軸的交點即可．

解答 解：（1）作CE⊥OD于E，如圖1所示：
則四邊形OBCE是矩形，∠CED=90°，
∴CE=OB=4，
∵A（-2，0），
∴OA=2，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵OD=2OA，
∴OD=4，
∴AD=2+4=6，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD=6，CD=AB=2$\sqrt{5}$；
∴C（6，4），D（4，0）；
（2）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
把A（-2，0），C（6，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{6k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，b=1，
∴直線AC的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+1；
（3）存在，點P坐標為（0，-$\frac{32}{13}$）；理由如下：
設(shè)CP交AD于H，如圖2所示：
∵?ABCD的面積=6×4=24，直線CP把?ABCD的面積分成1：6兩部分，
∴△CDH的面積$\frac{1}{2}$×DH×4=$\frac{1}{7}$×24，
解得：DH=$\frac{12}{7}$，
∴OH=4-$\frac{12}{7}$=$\frac{16}{7}$，
∴H（$\frac{16}{7}$，0），
設(shè)直線CP的解析式為：y=ax+c，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{6a+c=4}\\{\frac{16}{7}a+c=0}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{14}{13}$，c=-$\frac{32}{13}$，
∴直線CP的解析式為：y=$\frac{14}{13}$x-$\frac{32}{13}$，
當(dāng)x=0時，y=-$\frac{32}{13}$，
∴點P的坐標為（0，-$\frac{32}{13}$）．

點評 本題是一次函數(shù)綜合題目，考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、平行四邊形和三角形面積的計算等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（3）中，需要根據(jù)面積關(guān)系確定點的坐標，再求出直線的解析式才能得出結(jié)果．