Question

1．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的半圓交BC于點D，過點D作EF⊥AC于點F，交AB的延長線于點E．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）當(dāng)BD=3，DF=$\frac{12}{5}$時，求直徑AB．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD．根據(jù)垂直的定義得到∠DFA=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠C，∠1=∠2，等量代換得到∠2=∠C，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EDO=∠DFA=90°，即OD⊥EF．于是得到結(jié)論；
（2）連結(jié)AD，根據(jù)勾股定理得到CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AF=$\frac{D{F}^{2}}{CF}$=$\frac{16}{5}$，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連結(jié)OD．
∵EF⊥AC，
∴∠DFA=90°，
∵AB=AC，
∴∠1=∠C，
∵OB=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠EDO=∠DFA=90°，即OD⊥EF．
∴EF是⊙O的切線；

（2）解：連結(jié)AD，
∵AB是直徑
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴CD=BD=3，
在Rt△CFD中，DF=$\frac{12}{5}$，
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
在Rt△CFD中，DF⊥AC，
∴△CFD∽△DFA，
∴$\frac{CF}{DF}$=$\frac{DF}{AF}$，即AF=$\frac{D{F}^{2}}{CF}$=$\frac{16}{5}$，
∴AC=CF+AF=$\frac{9}{5}$+$\frac{16}{5}$=5，
∴AB=AC=5．

點評 本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．