Question

10．已知點(diǎn)A（1，-3），B（4，-1），P（0，a），N（0，a-2），當(dāng)四邊形PABN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則a=-1．

Answer 1

分析 如圖，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，則B′的坐標(biāo)為（-4，-1），把B′向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)A'（-4，3），連接AA′，與y軸交于點(diǎn)N，把N向上平移2個(gè)單位得到P，于是得到PN=A′B′=2，推出四邊形A′B′PN為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PB′=A′N，PB=PB′，得到PB=NA′，于是推出PB+AN=AA′，此時(shí)PB+AN最小，而PN與AB的長(zhǎng)一定，此時(shí)四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短．由于A（1，-3），A′（-4，-3），得到AA′∥x軸，求得N（0，-3），即可得到結(jié)果．

解答 解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，則B′的坐標(biāo)為（-4，-1），把B′向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)A'（-4，3），連接AA′，與y軸交于點(diǎn)N，把N向上平移2個(gè)單位得到P，
∴PN=A′B′=2，
∴A′B′∥PN，
∴四邊形A′B′PN為平行四邊形，
∴PB′=A′N，PB=PB′，
∴PB=NA′，
∴PB+AN=AA′，此時(shí)PB+AN最小，
而PN與AB的長(zhǎng)一定，
∴此時(shí)四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短．
∵A（1，-3），A′（-4，-3），∴AA′∥x軸，
∴N（0，-3），
∴P（0，-1）．
∴a=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題：通過對(duì)稱，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題．也考查了坐標(biāo)變換以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．