Question

2．如圖，直線EF交⊙O于A，B兩點(diǎn)，AC是⊙O直徑，DE是⊙O的切線，且DE⊥EF，垂足為E．
（1）求證：AD平分∠CAE；
（2）若∠ADE=15°，弧$\widehat{DA}$的長為$\frac{1}{3}π$，求⊙O的半徑；
（3）在（2）條件下求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，得出∠OAD=∠ODA，再證明∠EAD=∠ODA，得出結(jié)論；
（2）首先求得∠EAD=∠ODA=75°，進(jìn)一步得出∠DOA=30°，利用弧長計(jì)算公式得出答案即可；
（3）作OF⊥AB于點(diǎn)F，求得∠OAB=30°，利用含30°角的直角三角形、勾股定理和垂徑定理得出答案即可．

解答 （1）證明：如圖，

連接OD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵DE是⊙O的切線，
∴∠ODE=90°，OD⊥DE，
又∵DE⊥EF，
∴OD∥EF，
∴∠ODA=∠DAE，
∴∠DAE=∠OAD，
∴AD平分∠CAE；
（2）解：∵∠ADE=15°，
∴∠OAD=∠ODA=75°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=75°，
∴∠DOA=30°，
∴$\frac{30π×OA}{360}$=$\frac{1}{3}$π，
∴OA=4；
（3）解：如圖，

作OF⊥AB于點(diǎn)F，
則AF=FB，
∵∠OAD=∠ODA=75°，
∴∠OAF=30°，
∴OF=2，
AF=$\sqrt{O{A}^{2}-O{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2AF=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，弧長計(jì)算公式，垂徑定理，含30°直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確做出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．