Question

9．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，點E在對角線AC上，且∠1=∠2，AB=5，BC=AD=$\sqrt{10}$，CD=3．
（1）求證：△CDE∽△ABC；
（2）求：$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD，得到∠ACD=∠CAB，根據(jù)已知條件∠1=∠2，于是得到結論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{{S}_{△CDE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{CD}{AB}$）²=$\frac{9}{25}$，由CD∥AB，于是得到△ACD與△ABC的高相等．求得$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{CD}{AB}$=$\frac{3}{5}$=$\frac{15}{25}$，即可得到結論．

解答 解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵∠1=∠2，
∴△CDE∽△ABC；

（2）∵△CDE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△CDE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{CD}{AB}$）²=$\frac{9}{25}$，
∵CD∥AB，
∴△ACD與△ABC的高相等．
∴$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{CD}{AB}$=$\frac{3}{5}$=$\frac{15}{25}$，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△ADE}-{S}_{△CDE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{6}{25}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．