Question

4．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-$\frac{1}{3}$，0）、點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，1），連接BC．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點(diǎn)N為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作NP⊥x軸于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為t（-$\frac{1}{3}$＜t＜2），求△ABN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若-$\frac{1}{3}$＜t＜2且t≠0時(shí)△OPN∽△COB，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，然后只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問題；
（2）當(dāng)-$\frac{1}{3}$＜t＜2時(shí)，點(diǎn)N在x軸的上方，則NP等于點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，只需求出AB，就可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PN=2PO．由于PO=$|\begin{array}{l}{t}\end{array}|$，需分-$\frac{1}{3}$＜t＜0和0＜t＜2兩種情況討論，由PN=2PO得到關(guān)于t的方程，解這個(gè)方程，就可解決問題．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由題可得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{9}a-\frac{1}{3}b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+1；

（2）當(dāng)-$\frac{1}{3}$＜t＜2時(shí)，y_N＞0，
∴NP=|y_N|=y_N=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1，
∴S=$\frac{1}{2}$AB•PN
=$\frac{1}{2}$×（2+$\frac{1}{3}$）×（-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1）
=$\frac{7}{6}$（-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1）
=-$\frac{7}{4}$t²+$\frac{35}{12}$t+$\frac{7}{6}$；

（3）∵△OPN∽△COB，
∴$\frac{PO}{OC}$=$\frac{PN}{OB}$，
∴$\frac{PO}{1}$=$\frac{PN}{2}$，
∴PN=2PO．
①當(dāng)-$\frac{1}{3}$＜t＜0時(shí)，PN=$|\begin{array}{l}{yN}\end{array}|$=y_N=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1，PO=$|\begin{array}{l}{t}\end{array}|$=-t，
∴-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1=-2t，
整理得：3t²-9t-2=0，
解得：t₁=$\frac{9+\sqrt{105}}{6}$，t₂=$\frac{9-\sqrt{105}}{6}$．
∵$\frac{9+\sqrt{105}}{6}$＞0，-$\frac{1}{3}$＜$\frac{9-\sqrt{105}}{6}$＜0，
∴t=$\frac{9-\sqrt{105}}{6}$，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{9-\sqrt{105}}{6}$，$\frac{\sqrt{105}-9}{3}$）；
②當(dāng)0＜t＜2時(shí)，PN=$|\begin{array}{l}{yN}\end{array}|$=y_N=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1，PO=$|\begin{array}{l}{t}\end{array}|$=t，
∴-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1=2t，
整理得：3t²-t-2=0，
解得：t₃=-$\frac{2}{3}$，t₄=1．
∵-$\frac{2}{3}$＜0，0＜1＜2，
∴t=1，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，2）．
綜上所述：點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{9-\sqrt{105}}{6}$，$\frac{\sqrt{105}-9}{3}$）或（1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，需要注意的是：用點(diǎn)的坐標(biāo)表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度時(shí)，應(yīng)先用坐標(biāo)的絕對(duì)值表示線段的長(zhǎng)度，然后根據(jù)坐標(biāo)的正負(fù)去絕對(duì)值；解方程后要檢驗(yàn)，不符合條件的解要舍去．