Question

14．已知正方形ABCD的邊BC在x軸上，BA在y軸上，點B與原點O重合，點D在第一象限．△ABE是等邊三角形，點E在第二象限．M為對角線BD（不含B點）上任意一點．
（Ⅰ）如圖①，若BC=$\sqrt{6}$，當AM+CM的值最小時，求點M的坐標；
（Ⅱ）如圖②，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN，AM，CM．
①求證△AMB≌△ENB；
②當AM+BM+CM的最小值為$\sqrt{3}$+1時，直接寫出此時點E的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)兩點之間線段最短確定M的位置，作MG⊥BC于點G．根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)計算即可；
（Ⅱ）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理證明即可；
②過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，設正方形的邊長為x，根據(jù)勾股定理求出x，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 解：（Ⅰ）連接AC交BD于點M，
根據(jù)“兩點之間線段最短”，得此時AM+CM的值最�。� 
過點M作MG⊥BC于點G．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴$MB=\frac{1}{2}BD$，$MC=\frac{1}{2}AC$，BD=AC，∠BMC=90°，
∴MB=MC．
∵MG⊥BC，
∴$BG=GC=\frac{1}{2}BC=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
在Rt△BMC中，有$MG=\frac{1}{2}BC=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴點M的坐標為（$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$）；
（Ⅱ）①∵△ABE是等邊三角形，
∴BA=BE．∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE，
∵BN是由BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，
∴MB=NB，
在△AMB和△ENB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BE}\\{∠ABM=∠EBN}\\{BM=BN}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△ENB；
②過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，
∴∠EBF=90°-60°=30°，
設正方形的邊長為x，則BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，EF=$\frac{1}{2}$x，
在Rt△EFC中，
∵EF²+FC²=EC²，
∴（$\frac{1}{2}$x）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+x）²=（$\sqrt{3}$+1）²．
解得，x=$\sqrt{2}$（舍去負值）．
∴正方形的邊長為$\sqrt{2}$，
∴點E的坐標為：（$-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）．

點評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的應用，掌握正方形的四條邊相等、四個角都是直角、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵．