Question

6．如圖1，一張△ABC紙片，點M、N分別是AC、BC上兩點．
（1）若沿直線MN折疊，使C點落在BN上，則∠AMC′與∠ACB的數量關系是∠AMC′=2∠ACB（寫出結論即可）．
（2）若折成圖2的形狀，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的數量關系，并說明理由．
（3）若折成圖3的形狀，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的數量關系，并說明理由．
（4）將上述問題推廣，如圖4，將四邊形ABCD紙片沿MN折疊，使點C、D落在四邊形ABNM的內部時，∠AMD′+∠BNC′與∠C、∠D之間的數量關系是∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D）-360°（寫出結論即可）．

Answer 1

分析 （1）根據折疊性質和三角形的外角定理得出結論；
（2）先根據折疊得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，由兩個平角∠CMA和∠CNB得：∠AMC′+∠′BNC′等于360°與四個折疊角的差，化簡為結果；
（3）利用兩次外角定理得出結論；
（4）與（2）類似，先由折疊得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，再由兩平角的和為360°得：∠AMD′+∠BNC′=360°-2∠DMN-2∠CNM，根據四邊形的內角和得：∠DMN+∠CNM=360°-∠C-∠D，代入前式可得結論．

解答 解：（1）由折疊得：∠ACB=∠MC′C，
∵∠AMC′=∠ACB+∠MC′C，
∴∠AMC′=2∠ACB；
故答案為：∠AMC′=2∠ACB；
（2）猜想：∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB，理由是：
由折疊得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，
∵∠CMA+∠CNB=360°，
∴∠AMC′+∠′BNC′=360°-∠CMN-∠C′MN-∠CNM-∠C′NM=360°-2∠CMN-2∠CNM，
∴∠AMC′+∠BNC′=2（180°-∠CMN-∠CNM）=2∠ACB；
（3）∵∠AMC′=∠MDC+∠C，∠MDC=∠C′+∠BNC′，
∴∠AMC′=∠C′+∠BNC′+∠C，
∵∠C=∠C′，
∴∠AMC′=2∠C+∠BNC′，
∴∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；
（4）由折疊得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，
∵∠DMA+∠CNB=360°，
∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2∠DMN-2∠CNM，
∵∠DMN+∠CNM=360°-∠C-∠D，
∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2（360°-∠C-∠D）=2（∠C+∠D）-360°，
故答案為：∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D）-360°．

點評 本題是折疊變換問題，思路分兩類：①一類是利用外角定理得結論；②一類是利用平角和多邊形內角和相結合得結論；字母書寫要細心，角度比較復雜，是易錯題．