Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，4），P（t，0）是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M是線段AP的中點(diǎn)，將線段MP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段PB，過B作x軸的垂線、過點(diǎn)A作y軸的垂線，兩直線相交于點(diǎn)D，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)D落在雙曲線y=$\frac{16}{x}$上．

Answer 1

分析 先證得△AOP∽△PEB，根據(jù)相似比求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后將D（t+2，4）代入y=$\frac{16}{x}$中，即可求出t的值．

解答 解：∵∠APB=90°，
∴∠OPA+∠BPE=90°，
∴∠AOP=∠PEB=90°，
∴∠∠OAP+∠OPA=90°，
∴∠OAP=∠BPE，
∴△AOP∽△PEB且相似比為$\frac{AO}{PE}$=$\frac{AP}{PB}$=2，
∵AO=4，
∴PE=2，OE=OP+PE=t+2，
又∵DE=OA=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t+2，4），
∴點(diǎn)D落在雙曲線y=$\frac{16}{x}$上，有4（t+2）=16，
解得t=2，
故當(dāng)t為2時(shí)，點(diǎn)D落在雙曲線y=$\frac{16}{x}$上．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．由相似三角形的判定與性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．