Question

9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，作∠DAF=∠ACD，交CD延長線于點F．
（1）求證：AF為⊙O的切線；
（2）如果DE=DF，$\frac{DE}{CE}$=$\frac{3}{4}$，AC=8$\sqrt{5}$，求AE的長度．

Answer 1

分析 ①連接BD，根據(jù)圓周角性質(zhì)即可證明∠BAF是直角，即可解題；
②連接BC，根據(jù)切線性質(zhì)得出直角三角形，運用勾股定理即可解題；

解答 解：①連接BD，

∵∠ABD和∠ACD都是$\widehat{AD}$對應(yīng)的圓周角，
∴∠ABD=∠ACD，
∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠DAB+∠ACD=90°，
∵∠DAF=∠ACD，
∴∠DAB+∠DAF=90°，即∠BAF=90°，
∴AF為⊙O的切線；
②連接BC．

設(shè)CE=4x，AE=y，則DF=DE=3x，EF=6x
∵AB為⊙O的直徑，AF為⊙O的切線，
∴∠EAF=90°，∠ACD=∠DAF．
又∵D為Rt△AEF的斜邊EF的中點，
∴DA=DE=DF，
∴∠DAF=∠AFD，
∴∠ACD=∠AFD，
∴AF=AC=8$\sqrt{5}$．
在Rt△AEF中，由勾股定理得EF²=AE²+AF²，即36x²=y²+320．
設(shè)BE=z，由相交弦定理得CE•DE=AE•BE，即yz=4x•3x=12x²，
∴y²+320=3yz…①
又∵AD=DE，
∴∠DAE=∠AED．
又∵∠DAE=∠BCE，∠AED=∠BEC，
∴∠BCE=∠BEC，從而BC=BE=z．
在Rt△ACB中，由勾股定理得AB²=AC²+BC²，即（y+z）²=320+z²，
∴y²+2yz=320．…②
聯(lián)立①②，解得y=8，z=16．
∴AE=8．

點評 解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線找出直角三角形，考查了勾股定理、切線性質(zhì)的運用．