Question

6．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O（AB＞AC），E為$\widehat{BEC}$的中點，EF⊥AB于F，試說明：AB-AC=2AF．

Answer 1

分析 連接CE，BE，在BA上截取BD=CA，根據(jù)圓周角定理得∠EBC=∠3，可根據(jù)“SAS”判斷△BED≌△CEA，則ED=EA，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得DF=AF，然后利用等量代換可得到AB+AC=2DF，AB-AC=2AF．

解答 證明：連接CE，BE，在BA上截取BD=CA，如圖，
∵E為$\widehat{BEC}$的中點，
∴∠EBC=∠3，
∴EB=EC；
在△BED和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CE}\\{∠4=∠5}\\{BD=CA}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CEA（SAS），
∴ED=EA，
∵EF⊥AD，
∴DF=AF，
∴AB+AC=BD+DF+FA+BD=BF+DF+BD=2BF，
AB-AC=BD+DF+AF-BD=2AF．

點評 本題考查了圓周角定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)；利用三角形全等解決線段相等是常用的方法．