Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G．
（1）求$\frac{AF}{AC}$的值；
（2）求$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△ABC}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等角的余角相等得到∠DBE=∠BCD，由于AB=CB，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，得到BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CB，求出tan∠BCD=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{2}$在Rt△ABG中，tan∠DBE=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，推出△AFG∽△CFB，即可得到結(jié)論；
（2）由（1）證得△AFG∽△CFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△BCF}}$=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，由于$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，得到$\frac{CF}{AB}$=$\frac{2}{3}$，于是得到$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{4}×\frac{2}{3}{S}_{△ABC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{6}$．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
∵AB=CB，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CB，
∵tan∠BCD=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{2}$
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC⊥AB，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=$\frac{1}{3}$AC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{1}{3}$；

（2）由（1）證得△AFG∽△CFB，
∴$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△BCF}}$=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
∵$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CF}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴S_△BCF=$\frac{2}{3}$S_△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{4}×\frac{2}{3}{S}_{△ABC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是證得△AFG∽△CFB，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．