Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，點D是邊BC上一動點（不與B，C重合），
∠ADE=∠B=α，DE交AC于點E，且sinα=$\frac{3}{5}$．下列結(jié)論：
①△ADE∽△ACD；
②當BD=2時，△ABD與△DCE全等；
③△DCE為直角三角形時，BD的長一定為4；
④0＜CE≤3.2．
其中正確的結(jié)論是①④．（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

分析 ①根據(jù)有兩組對應角相等的三角形相似即可證明；
②由BD=2，則DC=5，證得對應邊不相等，△ABD與△DCE不全等；
③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；
④作AG⊥BC于G，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BG=CG，再利用余弦的定義計算出BG=8，則BC=2BG=16，設BD=x，則CD=16-x，證明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求CE的最大值，于是得到結(jié)論．

解答 解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD；
故①正確，

②作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=5，∠ADE=∠B=α，sinα=$\frac{3}{5}$，
∴cosB=cosα=$\sqrt{1-sinα}$=$\frac{4}{5}$，
∴BG=ABcosB，
∴BC=2BG=2ABcosB=2×5×$\frac{4}{5}$=8，
∵BD=2，
∴DC=6，
∴AB≠DC，
∴△ABD與△DCE不全等，故②錯誤，

③當∠AED=90°時，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$，AB=5，
∴BD=4，
當∠CDE=90°時，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$，AB=5，
∴cosB=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{25}{4}$．
故③錯誤．
∵AG⊥BC于G，如圖，
∵AB=AC，
∴BG=CG，
∵∠ADE=∠B=α，
∴cosB=cosα=$\frac{BG}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴BG=$\frac{4}{5}$×5=4，
∴BC=2BG=8，
設BD=x，則CD=8-x，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，即α+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BD}{CE}$，即$\frac{5}{8-x}$=$\frac{x}{CE}$，
∴CE=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x
=-$\frac{1}{5}$（x-4）²+3.2，
當x=4時，CE最大，最大值為3.2．
∴0＜CE≤3.2．故④正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，二次函數(shù)的最大值問題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．