Question

7．如圖，已知直線y=-x+7與直線y=$\frac{4}{3}$x交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作AC⊥y軸與點(diǎn)C．點(diǎn)P從O點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度沿折線O-C-A運(yùn)動(dòng)到A；點(diǎn)R從B點(diǎn)以相同的速度向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，一個(gè)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)R作直線l∥y軸，直線l交線段BA于點(diǎn)Q，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t為何值時(shí)，以A，P，O，R為頂點(diǎn)的四邊形的面積為13？
②是否存在以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立兩直線的解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）利用面積的差得出四邊形APOR的面積為-$\frac{1}{2}$t+14=13求出t即可；
（3）假設(shè)存在，分三種情況討論計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵直線y=-x+7①與直線y=$\frac{4}{3}$x②交于點(diǎn)A，
∴聯(lián)立①②解得，x=3，y=4，
∴A（3，4），
令y=-x+7中，y=0，得，x=7，
∴B（7，0）；
（2）由運(yùn)動(dòng)知，BR=t，
∵過R的直線l∥y軸，且與線段BA相交，
∴0≤t≤4，
∴OR=7-t，
∵AC⊥y軸，
∴OC=4，
∴點(diǎn)P必在線段OC上，
由運(yùn)動(dòng)知，OP=t，∴CP=4-t，
①S_{四邊形APOR}=S_{四邊形ACOB}-S_△ACP-S_△ABR
=$\frac{1}{2}$（AC+OB）×OC-$\frac{1}{2}$AC×CP-$\frac{1}{2}$BR×OC
=$\frac{1}{2}$（3+7）×4-$\frac{1}{2}$×3×（4-t）-$\frac{1}{2}$×t×4
=20-6+$\frac{3}{2}$t-2t
=-$\frac{1}{2}$t+14，
∵以A，P，O，R為頂點(diǎn)的四邊形的面積為13，
∴-$\frac{1}{2}$t+14=13，
∴t=2；
②∴P（0，t），R（7-t，0），
∵A（3，4），
∴PA²=9+（t-4）²，PR²=（7-t）²+t²，RA²=（7-t-3）²+16=（t-4）²+16，
假設(shè)存在以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，
∴①當(dāng)PA=PR時(shí)，即：PA²=PR²，
∴9+（t-4）²=（7-t）²+t²，
∴t²-6t+24=0，此方程無解，
②當(dāng)PA=RA時(shí)，即：PA²=RA²，
∴9+（t-4）²=（t-4）²+16，明顯，此方程無解，
③當(dāng)PR=RA時(shí)，即：PR²=RA²，
∴（7-t）²+t²=（t-4）²+16，
∴t²-6t+17=0，此方程無解，
∴不存在以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，四邊形的面積的計(jì)算方法，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分類討論的思想解決問題．