Question

10．如圖，直線y₁=kx+b與雙曲線y₂=$\frac{m}{x}$交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為1和5．
（1）當(dāng)m=5時(shí)，①求直線AB的解析式；
②連接AO，BO，求△AOB的面積；
（2）當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，即可求出直線AB的解析式；
②設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為E，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S_△AOB=S_△AOE-S_△BOE，即可求出△AOB的面積；
（2）觀察函數(shù)圖象，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可找出當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍．

解答 解：（1）①當(dāng)x=1時(shí)，y₂=$\frac{5}{x}$=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，5）；
當(dāng)x=5時(shí)，y₂=$\frac{5}{x}$=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，1）．
將點(diǎn)A（1，5）、B（5，1）代入y₁=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{5k+b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y₁=-x+6．
②設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為E，如圖所示．
當(dāng)y₁=-x+6=0時(shí)，x=6，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，0），
∴S_△AOB=S_△AOE-S_△BOE=$\frac{1}{2}$×6×5-$\frac{1}{2}$×6×1=12．
（2）觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＜0或1＜x＜5時(shí)，直線在雙曲線的上方，
∴當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍為x＜0或1＜x＜5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）①根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；②利用分割圖形求面積法求出△AOB的面積；（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，找出不等式的解集．