Question

20．已知四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的點，DE與CF交于點G．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求證：$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$；
（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當∠B+∠EGC=180°時，求證：$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，證出△AED∽△DFC即可；
（2）證△DFG∽△DEA，得出對應邊成比例，證△CGD∽△CDF，得出對應邊成比例，即可得出答案；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠FDC=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠A=∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$；

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EGC=180°
∴∠A=∠EGC=∠FGD，
∵∠FDG=∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{DF}{DG}$，
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，
∴∠CGD=∠CDF，
∵∠GCD=∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴$\frac{DF}{DG}=\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$．

點評 本題考查了矩形性質(zhì)和判定，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)和定理進行推理的能力，題目比較好．