Question

18．（1）拋物線C₁：y=（x+1）²-2繞坐標原點O旋轉180°得拋物線C₂，即：C₁，C₂關于坐標原點中心對稱，則C₂的解析式是：y=-（x-1）²+2；
（2）若兩拋物線關于坐標原點中心對稱，且一條拋物線的頂點在另一條拋物線上，我們稱這兩條拋物線為“共軛拋物線”
①（1）中的C₁，C₂是否為“共軛拋物線”？
②拋物線M：y=x²+bx+c的頂點坐標是（m，n），若拋物線M與它關于原點中心對稱的圖形是“共軛拋物線”，求n與m的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）根據原拋物線的頂點坐標求出旋轉后的拋物線的頂點坐標，然后根據頂點式解析式形式寫出即可．
（2）①把拋物線C₂的頂點坐標代入拋物線C₁的解析式進行驗證；
②把拋物線M的共軛拋物線的頂點坐標代入y=x²+bx+c，通過整理可以得到m與n的函數關系式．

解答 解：（1）∵二次函數y=（x+1）²-2的頂點坐標為（-1，-2），
∴繞坐標原點O旋轉180°后的拋物線C₂的頂點坐標為（1，2），
又∵旋轉后拋物線的開口方向上，
∴旋轉后的拋物線的解析式為y=-（x-1）²+2．
故答案是：y=-（x-1）²+2．

（2）①由（1）知，拋物線C₂的頂點坐標為（1，2）．
把x=1代入拋物線C₁：y=（x+1）²-2，得
y=（1+1）²-2=2，即拋物線的頂點C₂在拋物線上C₁，則兩條拋物線為“共軛拋物線”；
②（m，n）關于原點對稱的坐標為（-m，-n），共軛拋物線：y=-（x+m）²-n，把（m，n）代入得n=-（2m）²-n，
整理得：n=-2m²．

點評 本題考查了二次函數圖象與幾何變換，此類題目，利用頂點的變化確定拋物線解析式更簡便．