Question

3．如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是12m，寬是4m．按照圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用y=-$\frac{1}{6}$x²+bx+c表示，且拋物線的點C到墻面OB的水平距離為3m時，到地面OA的距離為$\frac{17}{2}$m．
（1）求該拋物線的函數(shù)關系式，并計算出拱頂D到地面OA的距離；
（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內設雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？
（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？

Answer 1

分析 （1）先確定B點和C點坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再利用配方法確定頂點D的坐標，從而得到點D到地面OA的距離；
（2）由于拋物線的對稱軸為直線x=6，而隧道內設雙向行車道，車寬為4m，則貨運汽車最外側與地面OA的交點為（2，0）或（10，0），然后計算自變量為2或10的函數(shù)值，再把函數(shù)值與6進行大小比較即可判斷；
（3）拋物線開口向下，函數(shù)值越大，對稱點之間的距離越小，于是計算函數(shù)值為8所對應的自變量的值即可得到兩排燈的水平距離最小值．

解答 解：（1）根據(jù)題意得B（0，4），C（3，$\frac{17}{2}$），
把B（0，4），C（3，$\frac{17}{2}$）代入y=-$\frac{1}{6}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-\frac{1}{6}×{3}^{2}+3b+c=\frac{17}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=4}\end{array}\right.$．
所以拋物線解析式為y=-$\frac{1}{6}$x²+2x+4，
則y=-$\frac{1}{6}$（x-6）²+10，
所以D（6，10），
所以拱頂D到地面OA的距離為10m；
（2）由題意得貨運汽車最外側與地面OA的交點為（2，0）或（10，0），
當x=2或x=10時，y=$\frac{22}{3}$＞6，
所以這輛貨車能安全通過；
（3）令y=8，則-$\frac{1}{6}$（x-6）²+10=8，解得x₁=6+2$\sqrt{3}$，x₂=6-2$\sqrt{3}$，
則x₁-x₂=4$\sqrt{3}$，
所以兩排燈的水平距離最小是4$\sqrt{3}$m．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應用：構建二次函數(shù)模型解決實際問題，利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．