Question

14．如圖，一艘海輪在A點時測得燈塔C在它的北偏東45°方向上，它沿正東方向航行80海里后到達B處．此時燈塔C在它的北偏西60°方向上．
（1）求海輪在航行過程中與燈塔C的最短距離：（結果保留根號）
（2）求海輪在B處時與燈塔C的距離．（結果保留根號）．

Answer 1

分析 （1）過C作AB的垂線，設垂足為D，則CD的長為海輪在航行過程中與燈塔C的最短距離；
（2）在Rt△BCD中，根據60°角的余弦值即可求出海輪在B處時與燈塔C的距離．

解答 解：（1）過C作AB的垂線，垂足為點D，
根據題意可得：∠1=∠2=45°，∠3=∠4=60°，
設CD的長為x海里，
在Rt△ACD中，tan45°=$\frac{AD}{CD}$，則AD=CD=x，
在Rt△BCD中，tan60°=$\frac{BD}{CD}$，則BD=$\sqrt{3}$x，
∵AB=80，
∴AD+BD=80，
∴x+$\sqrt{3}$x=80，
解得：x=40$\sqrt{3}$-40，
答：海輪在航行過程中與燈塔C的最短距離是（40$\sqrt{3}$-40）海里；

（2）在Rt△BCD中，cos60°=$\frac{CD}{BC}$，
∴BC=2CD=80$\sqrt{3}$-80（海里），
答：海輪在B處時與燈塔C的距離為（80$\sqrt{3}$-80）海里．

點評 本題主要考查解直角三角形的應用-方向角問題，解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．