Question

15．如圖，G是△ABC的重心，延長AD，使得DH=GD，K為BG中點．求證：△FKG∽△GHC．

Answer 1

分析 先由三角形重心的定義得出BF=FA，BD=DC，又K為BG中點，那么FK是△ABG的中位線，得出FK∥AG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠KFG=∠HGC，∠FKG=∠BGD．再利用SAS證明△BDG≌△CDH，得出∠BGD=∠H，等量代換得到∠FKG=∠H．然后根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似即可證明△FKG∽△GHC．

解答 證明：∵G是△ABC的重心，
∴AD、CF是△ABC的中線，
∴BF=FA，BD=DC，
∵K為BG中點，即BK=BG，
∴FK∥AG，
∴∠KFG=∠HGC，∠FKG=∠BGD．
在△BDG與△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDG=∠CDH}\\{DG=DH}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△CDH，
∴∠BGD=∠H，
∴∠FKG=∠H．
在△FKG與△GHC中，
∠KFG=∠HGC，∠FKG=∠H，
∴△FKG∽△GHC．

點評 本題考查了相似三角形的判定，三角形的重心，三角形的中位線，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，能夠證明∠KFG=∠HGC，∠FKG=∠H是解題的關(guān)鍵．