Question

7．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0
（1）若此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）當(dāng)此方程有一根為零時(shí)，將二次函數(shù)y=x²+2x+$\frac{k-1}{2}$圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變，翻折后圖象與原圖象x軸上方的部分組成給一個(gè)“W”形狀的新圖象，觀察新圖象發(fā)現(xiàn)：
①當(dāng)直線y=m與該新圖象有4個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是0＜m＜1．
②當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}$x+b與該新圖象恰好有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出實(shí)數(shù)b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程根的判別式即可得出；
（2）先根據(jù)原拋物線的解析式得出翻折后得出新圖象的解析式，進(jìn)而畫出圖象，①根據(jù)圖象直接判斷出來；②結(jié)合圖形確定出直線的位置即可求出b的值．

解答 解：（1）關(guān)于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=2²-4×$\frac{k-1}{2}$＞0，
∴k＜3；

（2）∵關(guān)于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0方程有一根為零
∴當(dāng)x=0時(shí)，k=1，二次函數(shù)解析式為y=x²+2x=（x+1）²-1，
∴拋物線y=x²+2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
當(dāng)y=0時(shí)，x²+2x=0，解得x₁=0，x₂=-2，
則拋物線y=x²+2x與x軸的交點(diǎn)為（-2，0），（0，0），
把拋物線y=x²+2x圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，則翻折部分的拋物線解析式為y=-（x+1）²+1（-2≤x≤0），頂點(diǎn)坐標(biāo)M（-1，1），
如圖，
①當(dāng)直線y=m與該新圖象有4個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，0＜m＜1
故答案為0＜m＜1；

②把直線y=$\frac{1}{2}$x向上平移，當(dāng)平移后的直線y=$\frac{1}{2}$x+b過點(diǎn)A時(shí)，直線y=$\frac{1}{2}$x+b與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，
∴$\frac{1}{2}$×（-2）+b=0，解得b=1；
當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}$x+b與拋物線y=-（x+1）²+1（-2≤x≤0）相切時(shí)，直線y=$\frac{1}{2}$x+b與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，
即-（x+1）²+1=$\frac{1}{2}$x+b有相等的實(shí)數(shù)解，整理得x²+$\frac{5}{2}$x+b=0，△=（$\frac{5}{2}$）²-4b=0，解得b=$\frac{25}{16}$，
所以b的值為1或$\frac{25}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了翻折的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，拋物線的性質(zhì)，確定翻折后拋物線的關(guān)系式；利用數(shù)形結(jié)合的方法是解本題的關(guān)鍵，畫出函數(shù)圖象是解本題的難點(diǎn)．