Question

10．如圖在矩形OABC中，OA=5，OC=6，反比例函數(shù)的圖象與AB、BC分別交于點(diǎn)E、F，且AE＜EB，△OEF與△BEF的面積之差等于5$\frac{11}{30}$，求此反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{k}{x}$（k＞0），根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出$\frac{1}{2}$OC•CF=$\frac{1}{2}$OA•AE=$\frac{1}{2}$k，從而求得CF=$\frac{k}{6}$，AE=$\frac{k}{5}$，得出BF=5-$\frac{k}{6}$，BE=6-$\frac{k}{5}$，即可得出△BEF的面積=$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$），進(jìn)而根據(jù)題意得出△OEF的面積=$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$）+5$\frac{11}{30}$，然后根據(jù)矩形的面積等于四個(gè)三角形的面積的和表示為$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$）+$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$）+5$\frac{11}{30}$=5×6，整理為k²-30k+161=0，解方程即可求得．

解答 解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{k}{x}$（k＞0），
∵$\frac{1}{2}$OC•CF=$\frac{1}{2}$OA•AE=$\frac{1}{2}$k，
∴6CF=5AE=k，
∴CF=$\frac{k}{6}$，AE=$\frac{k}{5}$，
∴BF=5-$\frac{k}{6}$，BE=6-$\frac{k}{5}$，
∴△BEF的面積=$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$），
∵△OEF與△BEF的面積之差等于5$\frac{11}{30}$，
∴△OEF的面積=$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$）+5$\frac{11}{30}$，
∴矩形OABC的面積=$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$）+$\frac{1}{2}$（5-$\frac{k}{6}$）（6-$\frac{k}{5}$）+5$\frac{11}{30}$=5×6，
整理得：k²-30k+161=0，
解得k₁=23，k₂=7，
∵AE＜EB，OA=5，
∴k=23，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{23}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及矩形的面積、三角形的面積等，表示出三角形的面積是解題的關(guān)鍵．