Question

9．如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)E在邊AD上，且AE：ED=1：3．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB 運(yùn)動到點(diǎn)B停止．過點(diǎn)E作EF⊥PE交射線BC于點(diǎn)F，設(shè)M是線段EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動的整個過程中，點(diǎn)M運(yùn)動路線的長為9．

Answer 1

分析 過點(diǎn)M作GH⊥AD，證明△EGM≌△FHM，得到MG=MH，從而可知：點(diǎn)M的軌跡是一條平行于BC的線段，然后證明△EF₁B∽△∠EF₁F₂，求得F₁F₂=18，最后根據(jù)三角形中位線定理可求得答案．

解答 解：如圖所示：過點(diǎn)M作GH⊥AD．

∵AD∥CB，GH⊥AD，
∴GH⊥BC．
在△EGM和△FHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MGE=∠MHF=90°}\\{∠GME=∠FMH}\\{EM=MF}\end{array}\right.$
∴△EGM≌△FHM．
∴MG=MH．
∴點(diǎn)M的軌跡是一條平行于BC的線段．
當(dāng)點(diǎn)P與A重合時，BF₁=AE=2，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，∠F₂+∠EBF₁=90°，∠BEF₁+∠EBF₁=90°，
∴∠F₂=∠EBF₁．
∵∠EF₁B=∠EF₁F₂，
∴△EF₁B∽△∠EF₁F₂．
∴$\frac{B{F}_{1}}{E{F}_{1}}=\frac{E{F}_{1}}{{F}_{1}{F}_{2}}$，即：$\frac{2}{6}=\frac{6}{{F}_{1}{F}_{2}}$，
∴F₁F₂=18，
∵M(jìn)₁M₂是△EF₁F₂的中位線，
∴M₁M₂=$\frac{1}{2}$F₁F₂=9．
故答案為：9．

點(diǎn)評 本題主要考查的是點(diǎn)的軌跡問題，題目涉及了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，探究出動點(diǎn)經(jīng)過的路徑是解題的關(guān)鍵．