Question

7．如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED是菱形．
（2）如果△DEC為等邊三角形，求矩形長和寬的比是多少．

Answer 1

分析 （1）首先證明四邊形OCED是平行四邊形，再證明OD=OC即可解決問題；
（2）只要證明△ODC是等邊三角形即可解決問題；

解答 （1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OD=OB=OC=OA，
∴四邊形OCED是菱形．

（2）解：∵△CDE是等邊三角形，四邊形OCED是菱形，
∴CE=DE=DC=OD=OC，
∴△ODC是等邊三角形，
∴∠BDC=60°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴$\frac{BC}{CD}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴矩形長和寬的比是$\sqrt{3}$．

點評 本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考�？碱}型．