Question

6．著名數(shù)學教育家G•波利亞，有句名言：“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要”，這句話啟發(fā)我們：要想學會數(shù)學，就需要觀察，發(fā)現(xiàn)問題，探索問題的規(guī)律性東西，要有一雙敏銳的眼睛．請先觀察下列等式找出規(guī)律，并解答問題．
①1³=1²；
②1³+2³=3²；
③1³+2³+3³=6²；
④1³+2³+3³+4³=10²；
…
（1）等式⑤是1³+2³+3³+4³+5³=15²．
（2）1³+2³+3³+…+n³=$\frac{1}{4}$n²（n+1）²（n為正整數(shù)）．
（3）求（-11）³+（-12）³+（-13）³+…+（-20）³的值．

Answer 1

分析 （1）（2）由題意可知：從1開始連續(xù)自然數(shù)的立方和等于這些自然數(shù)和的平方，由此規(guī)律得出答案即可；
（3）計算從-1到-20的立方和，再減去-1到-10的立方和即可．

解答 解：（1）等式⑤是1³+2³+3³+4³+5³=15²；
（2）1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+4+…+n）²=$\frac{1}{4}$n²（n+1）²（n為正整數(shù)）．
（3）（-11）³+（-12）³+（-13）³+…+（-20）³
=（-1）³+（-2）³+（-3）³+…+（-20）³-[（-1）³+（-2）³+（-3）³+…+（-10）³]
=-（1+2+3+…+20）²+（1+2+3+4+…+10）²
=-210²+55²
=-44100+3025
=-41075．

點評 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．