Question

20．如圖，BC是⊙O的直徑，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)A使AB=$\frac{1}{2}$CB，過點(diǎn)A作射線AD，使AD與⊙O相切于點(diǎn)D，連接BD，CD．若點(diǎn)E是劣弧$\widehat{BD}$上一點(diǎn)，則∠BED的度數(shù)為150°．

Answer 1

分析 連結(jié)OD，如圖，由切線的性質(zhì)得∠ADO=90°，再在Rt△AOD中利用三角函數(shù)的定義求出∠AOD=60°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算出∠C=30°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求∠BED的度數(shù)．

解答 解：連結(jié)OD，如圖，
∵AD為切線，
∴OD⊥AD，
∴∠ADO=90°，
∵AB=$\frac{1}{2}$CB，BC是⊙O的直徑
∴AB=OB=OA，
在Rt△AOD中，∵cos∠AOD=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AOD=60°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
而∠AOD=∠C+∠ODC，
∴∠C=$\frac{1}{2}∠$AOD=30°，
∵∠BED+∠C=180°，
∴∠BED=180°-30°=150°．
故答案為150°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．解決本題的關(guān)鍵是求出∠AOD的度數(shù)．