Question

1．如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．
（1）如圖①在AB上取一點D，將紙片沿OD翻轉，使點A落在BC邊上的點E處．求D、E兩點的坐標；
（2）如圖②，若OE上有一動點P（不與O，E重合），自點O沿OE方向向點E做勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設運動時間為t秒（0＜t＜5），過點P作DE的平行線交OD于點M，連結ME，求當t為何值時，以點P、M、E為頂點的三角形與△ODA相似，并求出相應時刻點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）由翻折的性質可知OE=5，然后利用勾股定理可求得CE=3，從而求得點E的坐標，然后在三角形EDB中，利用翻折的性質和勾股定理可求得ED的長，從而可求得點D的坐標；
（2）首先證明∠EPM=90°，首先根據(jù)相似三角形的性質可知∠PEM=∠DOA或∠PME=∠DOA，然后利用相似三角形的性質可求得t的值，過點M作MF⊥OA，垂足為F．然后證明△OPM≌△OFM，從而可求得點M的坐標．

解答 解：（1）由翻折的性質可知：OE=OA=5．
在Rt△OCE中，CE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
∴點E的坐標為（3，4）．
∴EB=CB-CE=5-3=2．
設AD=x，則BD=4-x．
由翻折的性質可知：ED=AD=x．
在Rt△BED中，EB²+BD²=ED²，即2²+（4-x）²=x²．
解得：x=2.5．
∴AD=2.5．
∴點D的坐標為（5，2.5）．
（2）由翻折的性質可知：∠OED=∠DAO=90°，∠DOE=∠DOA．
∵PM∥ED，
∴∠MPE+∠PED=180°．
∴∠MPE=90°．
∴∠MPE=∠DAO．
∵△PEM∽△OAD，
∴∠PEM=∠DOA或∠PME=∠DOA．
①當∠PEM=∠DOA時，在△OPM和△EPM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PEM=∠DOA}\\{∠MPE=∠MPO}\\{PM=PM}\end{array}\right.$，
∴PE=PO．
∴t=2.5
如圖1所示，過點M作MF⊥OA，垂足為F．

在△OPM和△OFM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠POM=∠FOM}\\{∠MPO=∠MFO}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△OPM≌△OFM．
∴MF=PM=$\frac{1}{2}OP$=1.25，OF=OP=2.5．
∴點M的坐標為（2.5，1.25）．
②當∠PME=∠DOA時，OP=t，則PE=5-t．
∵∠DOE=∠DOA，
∴$\frac{PM}{PO}=\frac{AD}{OA}=\frac{1}{2}$．
∴PM=$\frac{1}{2}t$．
∵∠PME=∠DOA
∴$\frac{PE}{PM}=\frac{AD}{OA}=\frac{1}{2}$．即$\frac{5-t}{\frac{1}{2}t}=\frac{1}{2}$．
解得：t=4．
如圖2所示，過點M作MF⊥OA，垂足為F．

在△OPM和△OFM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠POM=∠FOM}\\{∠MPO=∠MFO}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△OPM≌△OFM．
∴MF=PM=$\frac{1}{2}OP$=2，OF=OP=4．
∴點M的坐標為（4，2）．
綜上所述，當t=2.5時，以點P、M、E為頂點的三角形與△ODA相似，此時點M的坐標為（2.5，1.25）；當t=4時，以點P、M、E為頂點的三角形與△ODA相似此時點M的坐標為（4，2）．

點評 本題主要考查的是翻折的性質、相似三角形的性質和判定、全等三角形的性質和判定、勾股定理的應用，依據(jù)翻折的性質和勾股定理列出關于x的方程是解題的關鍵．