Question

2．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BD，DC⊥BC，AB=13，BC=14，AD=9，點(diǎn)O在邊BC上，且以O(shè)為圓心，OB為半徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)E
（1）求梯形對(duì)角線AC的長(zhǎng)；
（2）求⊙O的半徑r．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于H，如圖，易得四邊形AHCD為矩形，則CH=AD=9，所以BH=BC-CH=5，利用勾股定理，在Rt△ABH中計(jì)算出AH=12，接著在Rt△ACH中可計(jì)算出AC；
（2）設(shè)⊙O的半徑r，則OB=OE=r，OC=14-r，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OEC=90°，由于∠OCE=∠ACH，則可判斷Rt△COE∽R(shí)t△CAH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得$\frac{14-r}{15}$=$\frac{r}{12}$，然后解方程求出r即可．

解答 解：（1）作AH⊥BC于H，如圖，
∵AD∥BC，DC⊥BC，
∴四邊形AHCD為矩形，
∴CH=AD=9，
∴BH=BC-CH=14-9=5，
在Rt△ABH中，∵AB=13，BH=5，
∴AH=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
在Rt△ACH中，∵AH=12，CH=9，
∴AC=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15；
（2）設(shè)⊙O的半徑r，則OB=OE=r，OC=14-r，
∵OB為半徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEC=90°，
∵∠OCE=∠ACH，
∴Rt△COE∽R(shí)t△CAH，
∴$\frac{OC}{AC}$=$\frac{OE}{AH}$，即$\frac{14-r}{15}$=$\frac{r}{12}$，
∴r=$\frac{21}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了梯形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．