Question

4．已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，試回答下列問(wèn)題：
（1）如圖①，求證：OB∥AC．
（2）如圖②，若點(diǎn)E、F在線段BC上，且滿足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．則∠EOC的度數(shù)等于40°；（在橫線上填上答案即可）．
（3）在（2）的條件下，若平行移動(dòng)AC，如圖③，那么∠OCB：∠OFB的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說(shuō)明理由；若不變，求出這個(gè)比值．
（4）在（3）的條件下，如果平行移動(dòng)AC的過(guò)程中，若使∠OEB=∠OCA，求∠OCA度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由BC∥OA得∠B+∠O=180°，所以∠O=180°-∠B=80°，則∠A+∠O=180°，根據(jù)平行線的判定即可得到OB∥AC；
（2）由OE平分∠BOF得到∠BOE=∠FOE，加上∠FOC=∠AOC，所以∠EOF+∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOB=40°；
（3）由BC∥OA得到OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，加上∠FOC=∠AOC，則∠AOF=2∠AOC，所以∠OFB=2∠OCB；
（4）設(shè)∠AOC的度數(shù)為x，則∠OFB=2x，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠OEB=∠AOE，則∠OEB=∠EOC+∠AOC=40°+x，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠OCA=180°-∠AOC-∠A=80°-x，利用∠OEB=∠OCA得到40°+x=80°-x，解得x=20°，所以∠OCA=80°-x=60°．

解答 解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°，
∴∠O=180°-∠B=80°，
而∠A=100°，
∴∠A+∠O=180°，
∴OB∥AC；

（2）∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE=∠FOE，
而∠FOC=∠AOC，
∴∠EOF+∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
故答案為40°；

（3）不改變．
∵BC∥OA，
∴∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，
∵∠FOC=∠AOC，
∴∠AOF=2∠AOC，
∴∠OFB=2∠OCB，
即∠OCB：∠OFB的值為1：2；

（4）設(shè)∠AOC的度數(shù)為x，則∠OFB=2x，
∵∠OEB=∠AOE，
∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=40°+x，
而∠OCA=180°-∠AOC-∠A=180°-x-100°=80°-x，
∵∠OEB=∠OCA，
∴40°+x=80°-x，解得x=20°，
∴∠OCA=80°-x=80°-20°=60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．