Question

7．把△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得到△AB′C′，即如圖，∠BAB′=θ，$\frac{AB′}{AB}$=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{AC′}{AC}$=n，我們將這種變換記為[θ，n]．△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，對△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為平行四邊形，那么θ=72°，n=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由四邊形ABB′C′是平行四邊形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得AB²=CB•BB′=CB（BC+CB′），繼而求得答案．

解答 解：∵四邊形ABB′C′是平行四邊形，
∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC=36°，
∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°，
∴∠C′AB′=∠ABB′=∠BAC=36°，而∠B=∠B，
∴△ABC∽△B′BA，
∴AB²=CB•B′B=CB•（BC+CB′），而CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，
∴AB²=1•（1+AB），
∴AB=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∵AB＞0，
∴n=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：72°，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．