Question

15．如圖1，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點E，過點E作O的切線交AC于點D，且ED⊥AC．
（1）求證：AC=AB；
（2）若線段AB、DE的延長線交于點F，⊙O的半徑為2，AD=2+$\sqrt{3}$，求弧BE和BF、EF圍成的部分的面積S的值．

Answer 1

分析 （1）連接OE，AE．只要證明AE⊥BC，EC=BE即可；
（2）作OM⊥AC于M．由四邊形OEDM是矩形，推出OE=DM=2，由AD=2+$\sqrt{3}$，推出AM=$\sqrt{3}$，在Rt△AOM中，cosA=$\frac{AM}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，推出∠A=30°，在Rt△OEF中，EF=OE•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，根據(jù)弧BE和BF、EF圍成的部分的面積S=S_△OEF-S_扇形OEB計算即可；

解答 （1）證明：連接OE，AE．
∵DF是⊙O的切線，
∴OE⊥DF，
∵AC⊥DF，
∴OE∥AC，
∵OA=OB，
∴EC=EB，
∵AE⊥BC，
∴AC=AB．

（2）解：作OM⊥AC于M．
∵∠OMD=∠MDE=∠OED=90°，
∴四邊形OEDM是矩形，
∴OE=DM=2，
∵AD=2+$\sqrt{3}$，
∴AM=$\sqrt{3}$，
在Rt△AOM中，cosA=$\frac{AM}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠A=30°，
∵OE∥AC，
∴∠EOF=30°，
在Rt△OEF中，EF=OE•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴弧BE和BF、EF圍成的部分的面積S=S_△OEF-S_扇形OEB=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{30•π•2}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{3}$π．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、扇形的面積公式、矩形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．