Question

3．如圖，菱形ABCD，∠A=60°，M，N分別在AD，DC上，且∠BMN=60°．
（1）求證：BM=MN；
（2）若M，N分別在DA，CD的延長(zhǎng)線，上述結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連接BD，先證明△ABD為等邊三角形，得出∠ABD=60°，AB=BD，同理得出∠BDC=60°，證出∠NMD=∠ABM，證明M、D、N、B四點(diǎn)共圓，證出∠ABM=∠DBN，證明△AMB≌△DNB，即可得出結(jié)論；
（2）同（1）可證．

解答 （1）證明：連接BD，如圖1所示：
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=AD，
∵∠A=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
∴∠ABD=60°，AB=BD，
同理：∠BDC=60°，
∵∠BMD=60°+∠NMD=∠A+∠ABM，
∴∠NMD=∠ABM，
∵∠BMN=∠BDN=60°，
∴M、D、N、B四點(diǎn)共圓，
∴∠NMD=∠DBN，
∴∠ABM=∠DBN，
在△AMB和△DNB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠DBN}&{\;}\\{∠A=∠BDN}&{\;}\\{AB=DB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△DNB（AAS），
∴BM=BN，
又∵∠BMN=60°，
∴△BMN為等邊三角形，
∴BM=MN；
（2）成立；理由如下：如圖2所示：
同（1）可證：B、M、N、D四點(diǎn)共圓，△AMB≌△DNB，
∴BM=BN，
∴△BMN是等邊三角形，
∴BM=MN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓；本題難度較大；需要通過(guò)輔助線證明三角形全等和四點(diǎn)共圓才能得出結(jié)論．