Question

9．如圖，將長方形紙片ABCD折疊，使得AB與AD重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，壓平得折痕AF，則四邊形ABFE是正方形：再將CD與AD重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)H處，壓平得折痕DG，則四邊形CDHG也是正方形，展開后發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH正好與四邊形ABCD相似，量得AB=10cm
（1）求證：EH=FG；   
（2）求線段AD的長．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出AD=BC，AB=DC，由正方形的性質(zhì)得出AE=BF=AB=EF，DH=CG=DC=HG，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)EH=xcm，則AD=（x+20）cm；由相似多邊形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{EH}{AB}=\frac{EF}{AD}$，求出x，即可得出AD的長．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，
∵四邊形ABFE和四邊形CDHG是正方形，
∴AE=BF=AB=EF，DH=CG=DC=HG，
∴AE=BF=DH=GC=EF=HG，
∴EH=FG；
（2）解：設(shè)EH=xcm，則AD=（x+20）cm；
∵四邊形EFGH∽四邊形ABCD，
∴$\frac{EH}{AB}=\frac{EF}{AD}$，
即$\frac{x}{10}=\frac{10}{x+20}$，
解得：x=-10±10$\sqrt{2}$（負(fù)值舍去），
∴x=-10+10$\sqrt{2}$，
∴AD=-10+10$\sqrt{2}$+20=10+10$\sqrt{2}$（cm）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．