Question

10．如圖，在等邊△ABC中，D為AC邊上的一點(diǎn)，連接BD，M為BD上一點(diǎn)，且∠AMD=60°，AM交BC于E．當(dāng)M為BD中點(diǎn)時(shí)，$\frac{CD}{AD}$的值為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 作DK∥BC，交AE于K．首先證明BE=DK=CD，CE=AD，設(shè)BE=CD=DK=a，AD=EC=b，由DK∥EC，可得$\frac{DK}{EC}$=$\frac{AD}{AC}$，推出$\frac{a}$=$\frac{a+b}$，即a²+ab-b²=0，可得（$\frac{a}$）²+（$\frac{a}$）-1=0，求出$\frac{a}$即可解決問題．

解答 解：作DK∥BC，交AE于K．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=CB=AC，∠ABC=∠C=60°，
∵∠AMD=60°=∠ABM+∠BAM，
∵∠ABM+∠CBD=60°，
∴∠BAE=∠CBD，
在△ABE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBD}\\{∠ABE=∠C}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD，
∴BE=CD，CE=AD，
∵BM=DM，∠DMK=∠BME，∠HDM=∠EBM，
∴△MBE≌△MDK，
∴BE=DK=CD，設(shè)BE=CD=DK=a，AD=EC=b，
∵DK∥EC，
∴$\frac{DK}{EC}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{a+b}$，
∴a²+ab-b²=0，
∴（$\frac{a}$）²+（$\frac{a}$）-1=0，
∴$\frac{a}$=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍棄），
∴$\frac{CD}{AD}$=$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題科學(xué)全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中考選擇題中的壓軸題．