Question

20．如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，過⊙O上一點C作⊙O的切線交AB的延長線于E，且∠DCA=∠E．
（1）求證：$\widehat{BC}$=$\widehat{DC}$；
（2）若$\frac{DC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，求sin∠E的值．

Answer 1

分析 （1）欲證明$\widehat{BC}$=$\widehat{DC}$，只要證明OC⊥BD即可；
（2）連接BC、作CM⊥AB于M．由$\frac{DC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，設BC=DC=3k，則AB=5k，AC=4k，推出OC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$k，由$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CM，推出CM=$\frac{12}{5}$k，在Rt△OCM中，OM=$\sqrt{O{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\frac{7}{10}$，由sin∠E=sin∠OCM=$\frac{OM}{OC}$，計算即可解決問題．

解答 （1）證明：連接BD、OC．
∵EC是⊙的切線，
∴CO⊥EC，
∵∠ACD=∠ABD=∠E，
∴BD∥EC，
∴BD⊥OC，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$．

（2）連接BC、作CM⊥AB于M．
∵∠OCM+∠ECM=90°，
∠E+∠ECM=90°，
∴∠OCM=∠E，
∵$\widehat{DC}$=$\widehat{BC}$，
∴CD=BC，
∵$\frac{DC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，設BC=DC=3k，則AB=5k，AC=4k，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$k，
∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CM，
∴CM=$\frac{12}{5}$k，
在Rt△OCM中，OM=$\sqrt{O{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\frac{7}{10}$，
∴sin∠E=sin∠OCM=$\frac{OM}{OC}$=$\frac{\frac{7}{10}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{7}{25}$．

點評 本題考查切線的性質、解直角三角形、銳角三角函數(shù)、垂徑定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用參數(shù)解決問題，學會用轉化的思想思考問題．