Question

14．射線QN與邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，且AC∥QN．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心，$\sqrt{3}$cm為半徑的圓也隨之移動(dòng)．
（1）若AM=MB=2cm，QM=4cm，且經(jīng)過t秒，當(dāng)⊙P與△ABC的邊AC相切時(shí)，則t可取的一切值為t=2或3≤t≤7或t=8（單位：秒）；
（2）已知AM=acm，QM=4cm，且經(jīng)過t秒，當(dāng)⊙P與△ABC的邊相切時(shí)．若此時(shí)t可取值有且僅有4個(gè)，則a的取值范圍是1≤a≤4（單位：cm）

Answer 1

分析 （1）求出AB=AC=BC=4cm，MN=$\frac{1}{2}$AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分為三種情況：畫出圖形，結(jié)合圖形求出即可；
（2）根據(jù)（1）的分析得出t可取值有4個(gè)，得出a的取值范圍即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥AC，AM=BM．
∴N為BC中點(diǎn)，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，
分為三種情況：
①如圖1，

當(dāng)⊙P切AB于M′時(shí)，連接PM′，
則PM′=$\sqrt{3}$cm，∠PM′M=90°，
∵∠PMM′=∠BMN=60°，
∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，
∴QP=4cm-2cm=2cm，
即t=2；
②如圖2，
當(dāng)⊙P于AC切于A點(diǎn)時(shí)，連接PA，
則∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=$\sqrt{3}$cm，
∴PM=1cm，
∴QP=4cm-1cm=3cm，
即t=3，
當(dāng)⊙P于AC切于C點(diǎn)時(shí)，連接P′C，
則∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=$\sqrt{3}$cm，
∴P′N=1cm，
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，
即當(dāng)3≤t≤7時(shí)，⊙P和AC邊相切；
③如圖3，

當(dāng)⊙P切BC于N′時(shí)，連接PN′
則PN′=$\sqrt{3}$cm，∠PN′N=90°，
∵∠PNN′=∠BNM=60°，
∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，
∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，
即t=8；
注意：由于對(duì)稱性可知，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB右側(cè)時(shí)也存在⊙P切AB，此時(shí)PM也是為2，即P點(diǎn)為N點(diǎn)，同理可得P點(diǎn)在M點(diǎn)時(shí)，⊙P切BC．這兩點(diǎn)都在第二種情況運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)．
故答案為：t=2或3≤t≤7或t=8；
（2）因?yàn)楫?dāng)⊙P與△ABC的邊相切時(shí)．此時(shí)t可取值有且僅有4個(gè)，
當(dāng)t=2時(shí)，a=2；
當(dāng)t=3時(shí)，a=1；
當(dāng)t=7時(shí)，a=1.5；
當(dāng)t=8時(shí)，a=4；
可得：1≤a≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，切線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算的能力，注意要進(jìn)行分類討論�。�