Question

1．已知：如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，且OE=OB，聯(lián)結(jié)DE．
（1）求證：DE⊥BE；
（2）設(shè)CD與OE交于點(diǎn)F，若OF²+FD²=OE²，CE=3，DE=4，求線段CF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出OD=OB，再根據(jù)OE=OB，得出OE=OB=OD，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得∠OEB+∠OED=90°，即可得出結(jié)論．
（2）證明△OFD為直角三角形，得出∠OFD=90°．在Rt△CED中，由勾股定理求出CD=5．由三角形面積求出$EF=\frac{12}{5}$．在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理求出CF即可．

解答 （1）證明：∵平行四邊形ABCD，
∴OB=OD．
∵OB=OE，
∴OE=OD．
∴∠OED=∠ODE．
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB．
∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，
∴∠OEB+∠OED=90°．
∴DE⊥BE；                 
（2）解：∵OE=OD，OF²+FD²=OE²，
∴OF²+FD²=OD²．
∴△OFD為直角三角形，且∠OFD=90°．
在Rt△CED中，∠CED=90°，CE=3，DE=4，
∴CD²=CE²+DE²．
∴CD=5．
又∵$\frac{1}{2}CD•EF=\frac{1}{2}CE•DE$，
∴$EF=\frac{12}{5}$．
在Rt△CEF中，∠CFE=90°，CE=3，$EF=\frac{12}{5}$，
根據(jù)勾股定理得：$CF=\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理和勾股定理的逆定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理是關(guān)鍵．