Question

16．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且O是AC的中點(diǎn)，AE=CF，DF∥BE．
（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）當(dāng)OD與AC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABCD是矩形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AAS或ASA即可證明；
（2）只要證明OD=OB，OA=OC即可解決問題．
（3）根據(jù)對(duì)角線相等的四邊形是矩形即可解決問題；

解答 （1）證明：∵點(diǎn)O是AC中點(diǎn)，
∴OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵DF∥BE，
∴∠OEB=∠OFE，
在△BOE和△DOF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEB=∠OFD}\\{∠BOE=∠DOF}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOF，

（2）∵△BOE≌△DOF，
∴OD=OB，∵OA=OC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．

（3）結(jié)論：當(dāng)OD=$\frac{1}{2}$AC時(shí)，四邊形ABCD是矩形．
理由：∵OD=$\frac{1}{2}$AC，OD=OB，
∴BD=AC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是矩形．

點(diǎn)評(píng) 此題是平行四邊形的判定，主要考查了線段的中點(diǎn)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷△BOE≌△DOF．