Question

17．已知P為正方形ABCD的DC邊上一點(diǎn)（不與D、C重合），以PC一邊，在外側(cè)作一個(gè)正方形PCEF，如圖1，連接BP、DE．
（1）求證：△BPC≌△DEC；
（2）在圖1中，BP與DE有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？說明理由；
（3）若正方形PCEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中（2）的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)以旋轉(zhuǎn)如圖2為例說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS可證△BPC≌△DEC；
（2）BP=DE，BP⊥DE；延長(zhǎng)BP交DE于點(diǎn)H，易證BP=DE，根據(jù)等量代換易證∠CDE+∠DPH=90°，則BP⊥DE；
（3）BP=DE，BP⊥DE；易證△BCP≌△DCE，則BP=DE，∠CBP=∠CDE，根據(jù)等量代換易證∠CDE+∠DHO=90°．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形CEFP是正方形，
∴BC=DC，CP=CE，∠BCD=∠ECP=90°
∴∠BCP=∠DCE，
在△BCP和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCE}\\{CP=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCE（SAS）；
（2）BP=DE，BP⊥DE；
延長(zhǎng)BP交DE于點(diǎn)H，
∵△BCP≌△DCE，
∴BP=DE，∠CBP=∠CDE，
又∠CBP+∠BPC=90°，
∴∠CDE+∠DPH=90°，
∴∠DHP=90°，
∴BH⊥DE，
即BP⊥DE；
（3）BP=DE，BP⊥DE仍然成立，
在圖（2）中證明如下
∵四邊形ABCD、四邊形CEFP都是正方形
∴BC=CD，CP=CE，∠BCD=∠ECP=90°
∴∠BCP=∠DCE，
在△BCP和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCE}\\{CP=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCE（SAS）；
∴BP=DE，∠CBP=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBP+∠BHC=90°
∴∠CDE+∠DHO=90°
∴∠DOH=90°
∴BP⊥DE．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的知識(shí)點(diǎn)是正方形的性質(zhì)，解答本題關(guān)鍵要充分利用正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)．