Question

1．如圖，拋物線y=ax²+bx+c的開口向上，頂點(diǎn)M在第三象限，拋物線與x軸交于A、B 兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0）．
（1）試用含a的式子表示b，c；
（2）連接AM、CM、CB，試說明△OCB與四邊形AMCO的面積之比是一個定值，并求出這個定值；
（3）連接AC，若∠ACM=90°，解決下列問題：
①求拋物線解析式并證明∠MAO=∠ACB；
②線段AM上是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)A、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸可得出a，b的關(guān)系，再把點(diǎn)（1，0）代入解析式即可得出a，c的關(guān)系；
（2）過點(diǎn)M作MN⊥y軸，S_{四邊形AMCO}=S_梯形AMNO-S_△CMN，從而用含有a的式子表示出△OCB與四邊形AMCO的面積，再求比值即可；
（3）①過點(diǎn)M作MH⊥x軸，根據(jù)∠ACM=90°，得出AM²=AC²+CM²，AM²=AH²+MH²，AC²=OA²+OC²，CM²=CN²+MN²，分別用含有a的式子表示，計算即可得出a的值，再求得b，c的值，代入解析式，求得拋物線解析式，由OA=OC，可得∠OAC=∠OCA=45°，再由三角函數(shù)的定義得出tan∠MAC=$\frac{MC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，tan∠OCB=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{3}$，得出∠MAC=∠OCB，從而得出∠MAO=∠ACB；
②假設(shè)存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)A、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．先求得直線AM的解析式y(tǒng)=2x+6，再設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)（m，2m+6），分兩種情況討論：第一種情況△AOD∽△CAB；第二種情況△AOD∽△CBA；再得出比例式，第一種情況$\frac{OD}{AB}$=$\frac{AD}{CB}$，第二種情況$\frac{OD}{AB}$=$\frac{AO}{CB}$，再把數(shù)值代入即可得出m的值，根據(jù)-3≤m≤-1，進(jìn)行取舍即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（-3，0），B（1，0），
∴對稱軸為直線x=-1，
∴-$\frac{2a}$=-1，
∴b=2a，
把（1，0）代入y=ax²+bx+c得a+b+c=0，得c=-3a；
（2）過點(diǎn)M作MN⊥y軸，如圖1，
∵S_{四邊形AMCO}=S_梯形AMNO-S_△CMN，
∴S_{四邊形AMCO}=S_梯形AMNO-S_△CMN=$\frac{1}{2}$×4a×（3+1）-$\frac{1}{2}$×1×（4a+c）
=8a-$\frac{1}{2}$a
=$\frac{15}{2}$a，
∴S_△COB=$\frac{1}{2}$×1×（-c）=$\frac{3}{2}$a，
∴$\frac{{S}_{△COB}}{{S}_{四邊形AMCO}}$=$\frac{\frac{3}{2}a}{\frac{15}{2}a}$=$\frac{1}{5}$；
（3）①過點(diǎn)M作MH⊥x軸，如圖1，
∵∠ACM=90°，
∴AM²=AC²+CM²，
∵AM²=AH²+MH²，AC²=OA²+OC²，CM²=CN²+MN²，
∴4+16a²=9+c²+1+（4a+c）²，
解得a=±1，
∵拋物線開口向上，∴a＞0，
∴a=1，
∴b=2，c=-3，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3，
∴點(diǎn)C（0，-3），M（-1，-4），H（-1，0），
∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵tan∠MAC=$\frac{MC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，tan∠OCB=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴∠MAC=∠OCB，
∵∠MAO=∠MAC+∠OAC，∠ACB=∠ACO+∠OCB，
∴∠MAO=∠ACB；
②假設(shè)存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)A、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．如圖2，
設(shè)直線AM的解析式y(tǒng)=kx+b，
把（-3，0）（-1，-4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{-k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得k=-2，b=-6，
∴直線AM的解析式為y=-2x-6，
∵點(diǎn)D在線段AM上，∴設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)（m，-2m-6），
分兩種情況討論：
第一種情況△AOD∽△CAB，
∴∠AOD=∠CAB=45°，
∴直線OD的解析式為y=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x-6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴D（-2，-2），

第二種情況△AOD∽△CBA，
∴∠AOD=∠ABC，
∴OD∥BC，
∵直線BC的解析式為y=3x-3，
∴直線OD的解析式為y=3x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=-2x-6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{6}{5}}\\{y=-\frac{18}{5}}\end{array}\right.$，
∴D（-$\frac{6}{5}$，-$\frac{18}{5}$）
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，-2），（-$\frac{6}{5}$，-$\frac{18}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識點(diǎn)有直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定以及相似三角形的判定和性質(zhì)，要注意當(dāng)相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不確定的情況下需要分類討論，以免漏解．