Question

探究題：如圖：
（1）△ABC為等邊三角形，動點D在邊CA上，動點P邊BC上，若這兩點分別從C、B點同時出發(fā)，以相同的速度由C向A和由B向C運動，連接AP，BD交于點Q，兩點運動過程中AP=BD成立嗎？請證明你的結論；
（2）如果把原題中“動點D在邊CA上，動點P邊BC上，”改為“動點D，P在射線CA和射線BC上運動”，其他條
件不變，如圖（2）所示，兩點運動過程中∠BQP的大小保持不變．請你利用圖（2）的情形，
求證：∠BQP=60°；
（3）如果把原題中“動點P在邊BC上”改為“動點P在AB的延長線上運動，連接PD交BC于E”，其他條件不變，如圖（3），則動點D，P在運動過程中，DE始終等于PE嗎？寫出證明過程．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）由△ABC為等邊三角形，可得∠C=∠ABP=60°，AB=BC，又由這兩點分別從C、B點同時出發(fā)，以相同的速度由C向A和由B向C運動，可得BP=CD，即可利用SAS，判定△ABP≌△BCD，繼而證得結論；
（2）同理可證得△ABP≌△BCD（SAS），則可得∠APB=∠BDC，然后由∠APB-∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，求得∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°；
（3）首先過點D作DG∥AB交BC于點G，則可證得△DCG為等邊三角形，繼而證得△DGE≌△PBE（AAS），則可證得結論．

解答：解：（1）成立．
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=∠ABP=60°，AB=BC，
根據(jù)題意得：CD=BP，
在△ABP和△BCD中，

AB=BC ∠ABP=∠C BP=CD

，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴AP=BD；

（2）根據(jù)題意，CP=AD，
∴CP+BC=AD+AC，
即BP=CD，
在△ABP和△BCD中，

AB=BC ∠ABP=∠BCD BP=CD

，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠APB=∠BDC，
∵∠APB-∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，
∴∠BDC-∠DAQ=∠BQP=60°；

（2）DE=PE．
理由：過點D作DG∥AB交BC于點G，
∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，∠GDE=∠BPE，
∴△DCG為等邊三角形，
∴DG=CD=BP，
在△DGE和△PBE中，

∠DEG=∠PEB ∠GDE=∠BPE DG=PB

，
∴△DGE≌△PBE（AAS），
∴DE=PE．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．