Question

15．已知等邊△ABC的邊長為4，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段BA上由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連接ED，以ED為邊在ED右側(cè)作等邊三角形EDF，設(shè)△EDF的中心為O，則點(diǎn)E由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 點(diǎn)O為△EFD的中心，連接OD、OE，過點(diǎn)O作OG⊥AB，垂足為G，OH⊥BC，垂足為H，先證明Rt△EGO≌Rt△DHO，從而得到OG=OH，故此點(diǎn)O在∠ABC的平分線上，如圖2所示先求得BO的長，然后再求得BO′，從而可得到OO′，于是得到點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長．

解答 解：如圖1所示：點(diǎn)O為△EFD的中心，連接OD、OE，過點(diǎn)O作OG⊥AB，垂足為G，OH⊥BC，垂足為H．

∵點(diǎn)O為等邊△EFD的中心，
∴OE=OD，∠OED=∠ODE．
∵∠B+∠BDE=∠GEF+∠FED，∠B=∠FED，
∴∠EDH=∠GEF．
∴∠GEO=∠HDO．
在Rt△EGO和Rt△DHO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEO=∠HDO}\\{∠OGE=OHD}\\{OE=OD}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGO≌Rt△DHO．
∴OG=OH．
∴點(diǎn)O在∠ABC的平分線上．
如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)．過點(diǎn)O作OG⊥BC，垂足為G．

∵BC=4，
∴BG=1．
∴OB=$\frac{BG}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)E′處時(shí)，點(diǎn)O位于點(diǎn)O′處．
BO′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}×4$=2$\sqrt{3}$．
∴OO′=2$\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是點(diǎn)的軌跡問題，解答本題主要應(yīng)用了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，證得點(diǎn)O在∠ABC的平分線上是解題的關(guān)鍵．