Question

17．已知：x=$\frac{2ab}{1+^{2}}$（a＞0，b＞0），化簡：$\frac{a+x}{a+x-\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}$+$\frac{a-x}{-a+x+\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}$．

Answer 1

分析 先利用二次根式的性質(zhì)變形得到原式=$\frac{（\sqrt{a+x}）^{2}}{（\sqrt{a+x}）^{2}-\sqrt{a+x}•\sqrt{a-x}}$-$\frac{（\sqrt{a-x}）^{2}}{（\sqrt{a-x}）^{2}-\sqrt{a+x}•\sqrt{a-x}}$，再進(jìn)行約分后合并得原式=$\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}$，接著分母有理化可得原式=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{x}$，然后計(jì)算a²-x²得$\frac{{a}^{2}（1-^{2}）^{2}}{（1+^{2}）^{2}}$，所以原式=$\frac{a+\frac{a（1-^{2}）}{1+^{2}}}{\frac{2ab}{1+^{2}}}$，再進(jìn)行分式的化簡即可．

解答 解：原式=$\frac{（\sqrt{a+x}）^{2}}{（\sqrt{a+x}）^{2}-\sqrt{a+x}•\sqrt{a-x}}$-$\frac{（\sqrt{a-x}）^{2}}{（\sqrt{a-x}）^{2}-\sqrt{a+x}•\sqrt{a-x}}$
=$\frac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}$-$\frac{\sqrt{a-x}}{\sqrt{a-x}-\sqrt{a+x}}$
=$\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}$
=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{x}$，
∵x=$\frac{2ab}{1+^{2}}$，
∴a²-x²=a²-$\frac{4{a}^{2}^{2}}{（1+^{2}）^{2}}$=$\frac{{a}^{2}（1-^{2}）^{2}}{（1+^{2}）^{2}}$，
∴原式=$\frac{a+\frac{a（1-^{2}）}{1+^{2}}}{\frac{2ab}{1+^{2}}}$
=$\frac{a+a^{2}+a-a^{2}}{2ab}$
=$\frac{1}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．