Question

3．等腰三角形三邊的長(zhǎng)為2、2、b，若關(guān)于x的方程${x^2}-\sqrt{2}bx+1=0$的兩根之差的絕對(duì)值為$2\sqrt{5}$，則等腰三角形的底角的度數(shù)是（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 120°

Answer 1

分析 設(shè)方程${x^2}-\sqrt{2}bx+1=0$的兩根為m、n，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=$\sqrt{2}$b，mn=1，由|m-n|=2$\sqrt{5}$變形得到（m+n）²-4mn=20，則（$\sqrt{2}$b）²-4=20，解得b=2$\sqrt{3}$或b=-2$\sqrt{3}$（舍去），如圖，AB=AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，然后根據(jù)余弦的定義可求出∠B的度數(shù)．

解答 解：設(shè)方程${x^2}-\sqrt{2}bx+1=0$的兩根為m、n，則m+n=$\sqrt{2}$b，mn=1，
而|m-n|=2$\sqrt{5}$，
所以（m-n）²=20，則（m+n）²-4mn=20，
（$\sqrt{2}$b）²-4=20，解得b=2$\sqrt{3}$或b=-2$\sqrt{3}$（舍去），
所以等腰三角形三邊的長(zhǎng)為2、2、2$\sqrt{3}$，
如圖，AB=AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，
作AD⊥BC于D，則BD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
所以cosB=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以∠B=30°．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．